AEIS 数学模型法详解：画图解题的完整训练路径
AEIS 数学模型法详解,把新加坡小学几十年沉淀下来的"画长方块解应用题"拆成可复制的训练路径。这篇覆盖新加坡模型法数学的 7 种基本图式、AEIS 应用题模型的常见陷阱,以及一套从零起步的 model drawing 教程,适合刚从国内体系转过来的孩子。
思冠编辑部
Siguan AI · Editor
国内五年级孩子能口算 23×47,但拿到一道"小明的钱是小红的 3 倍多 8 元,两人一共 72 元"的 AEIS 真题,经常卡住——不是不会算,是不知道怎么把文字翻译成方程之外的东西。新加坡老师在黑板上画几个长方块,孩子一看就懂。这套东西叫 model method,是 AEIS 数学最大的"文化差异"。
为什么 AEIS 数学绕不开模型法
新加坡教育部从 1980 年代开始把 model drawing 写进小学数学大纲,到现在已经四十多年。整个 PSLE 体系、Primary 3 到 Primary 6 的应用题教学、甚至中学早期的代数衔接,都建立在"先画图、再列式"这个习惯上。
AEIS 虽然是插班考试,出题人却是新加坡本地教研系统。意味着:
- 应用题语言风格、信息结构、干扰项设置,默认你看得懂模型图。
- 部分题目即便用代数能解,出题人预设的"标准时间"是按画图速度算的——也就是 30 秒内画出图、再花 30 秒列式。代数硬解可能要 2 分钟,后面题目就赶不完。
- AEIS S1(对应中一插班)开始混入代数,但 P5 / P6 插班考几乎全靠模型法。
我们在 AEIS 数学和国内数学有什么不同？6 大差异详解 里讲过:国内学生丢分不是因为算术差,而是因为不熟悉这套"图形化解题语言"。模型法就是这种语言的语法。
模型法到底是什么:三句话讲清楚
模型法的核心是把每一个未知量、已知量,用一个长方块(bar)表示长度。块与块之间的关系——相等、倍数、相差——通过对齐、拼接、切分来呈现。最后,整张图变成一个"可视化的方程"。
它不是简单的"画示意图"。和小学课本里那种随手画的圆圈、苹果不同,模型图有严格的画法规则:
- 同类量用同宽度的方块(钱跟钱、人跟人,宽度统一)。
- 比例感要尽量准确——3 倍的块就要画成大约 3 倍长,不能随手画。
- 未知量用问号 "?" 标注在方块上方或下方,不写在方块内部。
这三条看似琐碎,但孩子如果不养成习惯,画到复杂题(比如四个量、两次变化)时图就乱了,看不出关系,等于白画。
七种基本模型图式
AEIS 应用题模型再复杂,拆下来就是七类基本图式的组合。把这七类练到肌肉记忆,大部分 P5 / P6 真题都能在 1 分钟内画出图。
| 图式 | 适用题型 | 关键画法 |
|---|---|---|
| Part-Whole(整体—部分) | 加减法、合计问题 | 一长块切成若干段 |
| Comparison(比较) | 相差、谁比谁多 | 两块上下对齐,标差额 |
| Equal Parts(等分) | 平均、除法 | 一块切成 n 等份 |
| Multiple(倍数) | A 是 B 的 n 倍 | 短块 + 复制 n 次 |
| Before-After(变化前后) | 钱被花掉、水被倒走 | 上下两行,对照画 |
| Internal Transfer(内部转移) | A 给 B 多少 | 同一行,块之间画箭头 |
| Combined(混合型) | PSLE 高分题、AEIS 难题 | 上面六种至少两种叠加 |
前四种是基础,小学三年级就该掌握。后三种是 AEIS 的主战场,尤其是 Before-After 和 Combined,几乎每年都出。
一道典型 AEIS 真题的拆解
来看一道 P6 AEIS 风格题:
小明和小红一共有 240 元。小明给了小红 30 元后,小明的钱是小红的 2 倍。问小明原来有多少钱?
国内孩子的第一反应是设 x、列方程。能解,但慢。新加坡式做法:
第一步,画 Before-After 图。变化后(小明给了 30 元后),小明 = 2 × 小红。所以画两行:
- 下面一行(小红变化后):一个块,标 "1 unit"
- 上面一行(小明变化后):两个相同的块,标 "2 units"
第二步,标总数。两人总钱数没变,还是 240 元。所以 3 个 unit = 240,1 unit = 80。
第三步,回推原始值。小红变化后 80 元,原来 80 - 30 = 50 元。小明变化后 160 元,原来 160 + 30 = 190 元。
答案:小明原来有 190 元。
整个过程,从读题到写出答案,熟练的孩子 45 秒以内。代数解法至少要写三行式子,容易在符号上出错。
model drawing 教程:零起步的训练顺序
我们带过的中国家庭里,孩子如果完全没接触过模型法,合理的训练顺序是这样:
第 1-2 周:Part-Whole 和 Comparison 只做最基础的加减法应用题,但强制画图。哪怕题目简单到"小明 5 个苹果,小红 3 个,一共几个",也要画两个对齐方块。目的是建立"先画再算"的反射。
第 3-4 周:Multiple 和 Equal Parts 进入倍数和等分。这两个图式是后面所有难题的地基,1 unit、2 units 的概念必须练到不假思索。这一阶段建议每天 8-10 题,但题目本身不要难,聚焦图法本身。
第 5-6 周:Before-After 加入"变化"概念。这是国内孩子最容易出错的地方——他们习惯一步算到底,不习惯画两行图来对照。很多家长反馈孩子在这一步会卡两到三周,正常。
第 7-8 周:Internal Transfer 和 Combined 真正的 AEIS 难度。开始做综合题,一道题可能要画三四个块、两行结构。这阶段题目精选,每天 4-5 题但要做透——每题做完要让孩子讲一遍"我是怎么画出这张图的"。
第 9 周往后:真题集训 用 AEIS 历年题(或 PSLE 类似难度题)成套做。这时候图法应该是工具,不再是焦点,焦点回到读题准确性和速度。
整个周期,从零到能稳定应对 AEIS 数学应用题,大约需要 60-80 小时纯练习时间。海外家庭如果时差和监护人安排有挑战,海外家庭 AEIS 备考指南：跨时区如何让孩子考进新加坡公校 里有具体的时间分配建议。
中国家长最常踩的 5 个坑
带过几十组家庭后,这五个错误几乎每家都会犯一两个:
坑 1:用代数代替画图 孩子代数学过,觉得画图"幼稚",题目一来直接设 x。短期看好像也能做对,长期看到了 Combined 题型就崩盘。AEIS 出题人就是奔着"能不能用模型法解"设计的,代数硬解经常会落入预设陷阱(比如多个未知量需要联立)。
正确做法: 备考期内强制画图,不允许直接列方程。考试当天孩子会自己选最快的方法。
坑 2:画图比例失真 3 倍的块画得跟 1 倍差不多长,4 个未知量挤在角落里。这种图根本没法看出关系,画了等于没画。
正确做法: 用方格本(grid paper)练习前两个月,强制每个 unit 占固定格子数。两个月后改用普通本,比例感已经形成。
坑 3:不标数字、不写单位 画完图,块上面什么都不写,全靠脑子记。一道难题画完图脑子里就一团浆糊。
正确做法: 每个块要么写已知数字,要么写 "?",要么写 "1 unit"。一个不能漏。
坑 4:不会处理"剩下"和"原来" 中文题目里 "用掉一半后还剩 30",或者英文里 "after spending 1/3, he had $40 left",孩子分不清画的是变化前还是变化后,图就画反了。
正确做法: 训练阶段,每道有变化的题,先在草稿纸最上方写 "Before:" 和 "After:",物理上分开两个区域画。
坑 5:画图速度太慢 图画得很漂亮,但一道题花 3 分钟。AEIS 数学小六卷大约 50 分钟做 30+ 题,平均每题不到 2 分钟,画图太慢直接全卷崩。
正确做法: 后期加入"限时画图"训练。每题 30 秒内必须画出图、列出第一行算式,做不到就回到中期再练。
模型法和代数的衔接:什么时候该切换
模型法不是万能的。到了 AEIS S1(中一插班)以上,题目里出现负数、分数方程、多变量,纯模型法会变得笨拙。新加坡本地体系是这样过渡的:
| 阶段 | 主要工具 | 模型法的角色 |
|---|---|---|
| P3 - P4 | 模型法 | 主力 |
| P5 - P6(对应 AEIS P5/P6) | 模型法 + 简单代数 | 主力 |
| Sec 1(对应 AEIS S1) | 代数为主 | 辅助理解 |
| Sec 2 以上 | 代数 | 几乎不用 |
也就是说,如果孩子目标是 P5 / P6 插班,模型法是绝对主力,要练到肌肉记忆。如果目标是 S1 插班,模型法仍然要会(因为它能帮助理解题意),但代数训练要同步跟上。
AEIS 数学模型法详解的备考资源选择
市面上号称教模型法的书和视频不少,但真正贴近 AEIS 难度的不多。判断标准:
- 来源是新加坡本地出版社(比如 EPH、Marshall Cavendish、SAP 这类教育出版社的官方教辅),内容贴合 MOE 大纲。
- 题目按图式分类,而不是按章节(分数、百分比这种)分类。前者训练图法肌肉记忆,后者只训练知识点。
- 答案有完整模型图,不只是数字。很多教辅答案只给最终算式,孩子对不上图就白练。
这部分内容,我们在 2026 年 AEIS 考试完整指南：报名、流程、备考时间表 里有更系统的备考时间线参考,可以结合本文的训练周期一起规划。
下一步建议
- 拿一道孩子最近做错的应用题,要求他在 30 秒内画出模型图。如果画不出,说明图式还没建立,从七种基本图式重新开始。
- 备齐方格本,前两个月所有练习强制画在格子上,建立比例感。
- 准备一本错题本,只记"图画错了"的题目——不是算错的题。这本错题本的价值,远超普通错题本。
- 训练满 6 周后做一次模考,用真题计时,观察画图速度是否能压到每题 30 秒以内。压不下来,延后 2 周再考虑做整套真题。